Em postagem de ontem, fiz esta pergunta:
Digamos, hipoteticamente falando, que o senhor conheceu alguém que lhe disse ter dois filhos, e um deles é uma menina. Qual é a probabilidade de essa pessoa ter um menino e uma menina?
A maioria das pessoas responde 50%.
Infelizmente, isso não está correto.
Esse problema, embora aparentemente simples, é difícil de entender. Por razões cognitivas que não são totalmente compreendidas, embora nossas intuições sobre a priori Se as possibilidades são razoavelmente boas, somos facilmente enganados quando tentamos usar a probabilidade para quantificar nosso conhecimento. Essa é uma maneira elegante de dizer que havia quase um mil comentários sobre esse post, sem muita concordância.
O principal aspecto a ser levado em conta aqui é que recebemos informações adicionais. Se nós não usar essas informações, chegamos a 50% – as chances de uma menina ou menino nascer de uma determinada mulher grávida. Isso é verdade até certo ponto, mas é a resposta a uma pergunta diferente e muito mais simples, e certamente não é a resposta à pergunta que fizemos.
Nossa pergunta contém informações adicionais:
- A pessoa tem dois filhos.
- Um desses filhos é uma menina.
Podemos usar essas informações para chegar a uma resposta melhor e mais correta. Sabemos que essa pessoa tem dois filhos. Quais são todas as combinações possíveis de dois filhos?
BB, GB, BG, GG
Sabemos que uma das crianças é uma menina. Isso exclui uma das combinações possíveis de dois filhos (BB), então ficamos com:
GB, BG, GG
Das três possibilidades restantes, duas incluem meninos.
GB, BG
Assim, a probabilidade de essa pessoa ter um menino e uma menina é de 2/3 ou 66%.
Notei alguns comentários em que as pessoas reclamavam que as possibilidades GB e BG são a mesma coisa e deveriam ter sido reduzidas para
BG/GB, GG
O que equivale a 1/2 ou 50%.
Se o senhor cometeu esse erro, está em boa companhia: o mesmo aconteceu com Blaise Pascal, como o livro The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern (Pascal, Fermat e a carta do século XVII que tornou o mundo moderno) explica.
Veja como Keith Devlin descreve a famosa carta:
Em 1654, o apostador Antoine Gombaud, cujo título nobre era Chevalier de Mere, abordou seu amigo Pascal com algumas perguntas sobre jogos de azar, incluindo o problema do jogo inacabado. Depois de pensar um pouco, Pascal encontrou uma possível solução, mas não tinha certeza absoluta de que seu raciocínio estava correto. Assim, ele enviou suas ideias a Fermat para ver se seu compatriota concordava com o argumento. A breve troca de cartas que se seguiu – e uma carta em particular – representou um dos mais profundos avanços na história do pensamento matemático.
Vou lhe dizer uma coisa que aprendi com esse livro: É incrível como muitos dos primeiros avanços da matemática foram baseados em jogos de azar. Acho que é mais ou menos a mesma relação histórica entre a tecnologia de vídeo e a pornografia. Não que haja algo de errado nisso. De qualquer forma, o “jogo inacabado” a que aludi no título de minha postagem anterior é o tópico central dessas cartas entre os senhores. Blaise Pascal e Pierre Fermat. Aqui está uma versão modernizada e ligeiramente simplificada:
Dois jogadores, Harry e Ted, fazem apostas iguais em quem ganhará o melhor de 5 lançamentos de moeda. Em cada rodada, Harry sempre escolhe cara (H) e Ted sempre escolhe coroa (T). Suponha que eles sejam forçados a abandonar o jogo após 3 lançamentos de moeda, com Harry ganhando por 2 a 1. Qual é a maneira mais justa de dividir o pote?
Vamos enumerar todos os resultados possíveis dos dois lançamentos de moeda restantes.
HH HT TH TT
Apenas uma dessas quatro possibilidades permite que o Ted vença. Portanto, se o jogo tiver que ser abandonado, o pote deve ser dividido em 3/4 para o Harry e 1/4 para o Ted.
Mas, como Harry já está à frente por 2 a 1, o senhor pode argumentar que não faz sentido considerar todas essas possibilidades “extras”; assim que Harry obtém a terceira cara no lançamento de uma moeda, o jogo termina. Assim, só precisamos considerar as possibilidades em que o jogo realmente continuaria:
H TH TT
Por essa contabilidade, Harry ficaria com 2/3 do pote e Ted com 1/3. Sabemos que isso está errado. Ao deixar o jogo “inacabado” e não enumerar todas as possibilidades, cometemos um erro. Mas como?
O senhor não precisa ser um matemático para provar isso. Sou apenas um programador de baixa qualidade, e até mesmo meu código de baixa qualidade pode forçar a resposta por força bruta simulando resultados de milhares de jogos.
var rand = new Random();
var results = new Dictionary<string, int>();
int tosses = 2;
for (int i = 0; i < 10000; i++)
{
string result = "HHT";
for (int toss = 0; toss < tosses; toss++)
{
result += (rand.Next(2) == 0) ? "H" : "T";
if (Regex.Matches(result, "H").Count == 3 || Regex.Matches(result, "T").Count == 3) break;
}
if (results.ContainsKey(result))
results[result]++;
else
results.Add(result, 1);
}
foreach (var item in results)
{
Console.WriteLine(item.Key + " : " + item.Value);
}
HHTTT |
2,438 |
HHTTH |
2,457 |
HHTH |
5,105 |
Os jogos inacabados não têm a mesma probabilidade! Mas os resultados são definitivamente claros e concordam com o que o jogos finalizados igualmente prováveis Previsto: 75% para Harry e 25% para Ted.
Já cometi erros muito parecidos com “jogo inacabado” antes, principalmente quando o escrevendo um algoritmo de embaralhamento de cartas. Ao apresentar esse problema, espero que o senhor também consiga reconhecê-lo na próxima vez que o vir, mesmo que a matemática por trás dele não seja nada intuitiva.